工具のたわみ計算

突き出しと工具径から、工具がどれだけ逃げるかを出します。

たわみ

3.33 µm

切削力 100 N のとき／ L/D ＝ 3.0
剛性 30.0 N/µm（1µm 逃がすのに要る力）

比の表は切削力に依りません。2つを比べるときだけ、切削力は約分されて消えます。

計算式

たわみ δ ＝ F・L³ ／ (3・E・I)

断面二次モーメント I ＝ π・D⁴ ／ 64

  F 切削力（N）    L 突き出し量（mm）
  E 縦弾性係数     D 工具径（mm）

片持ち梁の先端に荷重がかかる形です。工具は根元で保持され、先端で削るので、この形に当てはめます。

式を見ると L は3乗、D は4乗で入っています。ここが「少し伸ばしただけなのに、急に暴れる」の正体です。

突き出しを 3D → 4D にする    たわみ (4/3)³ ＝ 2.4倍
工具径を φ10 → φ8 にする     たわみ (10/8)⁴ ＝ 2.4倍

「突き出しを1.3倍」と「径を2割細く」が、ほぼ同じ影響です。覚えやすい形にすると、こうなります。

径を 2割 太くする      → たわみ 約半分
突き出しを 2割 詰める  → たわみ 約半分

L/D で管理している現場は多いと思いますが、 同じ L/D なら同じだけ逃げる、ではありません。

φ20 の 4D（L＝80）と φ10 の 4D（L＝40）
→ φ10 の方が 2倍 たわむ

L ＝ k・D と置くと δ ∝ (kD)³ / D⁴ ＝ k³ / D となり、 同じ L/D なら径に反比例します。小径の工具ほど、同じ L/D でも不利になります。

縦弾性係数はおおよそ、超硬が 550 GPa、鋼とハイスが 205〜215 GPa です。 超硬は鋼のおよそ2.7倍なので、同じ形状ならたわみは およそ1/3になります。

深穴の中ぐりで超硬のボーリングバーが効くのはこのためです。一方でハイスと鋼はほぼ同じなので、材質を変えて効くのは超硬に替えたときだけ、ということになります。

⚠ 超硬は組成（WCとCoの割合）で 500〜650 GPa の幅があります。 このツールでは中ほどの550 GPaを採っています。 細かい数字を当てにする使い方はしないでください。

この式で一番あやしいのは 切削力 F です。材質・刃先形状・摩耗・切取り面積で大きく変わり、ここを詰めずに絶対値を出すと、精度があるように見えて実は無い数字になります。

そこで、このツールは「切削力100Nあたり何µm」という形で出しています。そして2つの条件を比べるときは、切削力が約分されて消えます。 比較の表が切削力に依らないのはそのためです。

たわみを避ける手はいくつかあり、どれも原価に跳ね返ります。

どれを選ぶかはロット数で変わります。 1個あたりでいくら動くかは製造コスト計算で並べて比べられます。

※ 一様断面の丸棒として計算しています。実際の工具は刃部・首・シャンクで径が違い、ホルダと機械の剛性、びびりの影響は含みません。縦弾性係数も材種で幅があります。 絶対値は目安として扱い、条件を決めるときは実際の切削で確かめてください。